142857: Un número "impertinente"

15 noviembre 2012

El número 142857 es uno de los más interesantes de la matemática por los resultados de sus productos.

Veamos las transformaciones curiosas que podemos efectuar con ese nº

                       142 857 x 2 = 285 714

                       142 857 x 3 = 428 571

                        142 857 x 4 = 571 428

                        142 857 x 5 = 714 285

                        142 857 x 6 = 857 142

                                     Vemos que los dígitos del producto son los mismos del número dado, escritos, sin embargo, en otro orden.

                      142857 x 7 = 999999    ¡Número formado por seis nueves!

                      142 857 x 8 = 1 142 856

            Todos los dígitos del número que aparecen ahora en el producto con excepción del 7. El 7 del número dado fue de compuesto en dos partes, seis y uno. El dígitos seis se ubicó a la derecha y un dígito uno fue a la izquierda para completar el producto.

                       142 857 x 9 = 1 285 713

En este caso, el único dígito del multiplicando que no figura en el producto es el cuatro que aparece descompuesto en dos partes, uno y tres colocados en los extremos del producto.

142857 x 11 =  1571427

142857 x 12 =  1714284

142857 x 13 = 1857141

142857 x 15 = 2142855

142857 x 17 = 2428569

142857 x 18 = 2571426

Algunos autores llegan a afirmar que hay una especie de cohesión entre los dígitos del número 142 857, que no permiten que esos dígitos se separen.

Retomemos el número 142 857 y determinemos el producto de ese número por los factores 4, 14, 21, 28, etc. múltiplos de 7. Estos son los resultados:

142 857 x 7 = 999 999
142 857 x 14 = 1 999 998
142 857 x 21 = 2 999 997
142 857 x 28 = 3 999 996
142 857 x 35 = 4 999 995
142 857 x 42 = 5 999 994
142 857 x 49 = 6 999 993
142 857 x 56 = 7 999 992
142 857 x 63 = 8 999 991
142 857 x 70 = 9 999 990

¿Cómo aparece en aritmética ese número 142 857?
Si convertimos la fracción ordinaria 1/7 a su forma decimal, vamos a tener la cifra periódica simple cuyo período es precisamente 142 857.
Quien ya ha estudiado fracciones ordinarias y decimales podrá comprender fácilmente que las fracciones ordinarias 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 y 6/7, cuando se convierten en fracciones decimales tendrán también fracciones periódicas simples cuyos períodos están formados por los dígitos 1, 4, 2, 8, 5 y 7, que aparecerán en cierto orden, conforme al valor del numerador. Esta es la explicación de la famosa "cohesión" aritmética pretendida por algunos investigadores.
Para los antiguos matemáticos, el número 142 857 era "cabalístico", con propiedades "misteriosas"; estudiado, sin embargo, desde el punto de vista aritmético, no pasa de un período de una fracción periódica simple.
Lo mismo ocurre con los períodos en las fracciones decimales 1/17, 1/23, etc.
El número 142 857, que algunos algebristas denominan "número impertinente" no es, por tanto, el único en presentar particularidades en relación a la permanencia de algunos dígitos en diversos productos.