Fractales de papel

Fractales de papel



- Me gusta tu camiseta. Sale un pez engullendo a otro más pequeño que a su vez engulle a otro más pequeño... Si se repitiera indefinidamente sería un fractal ¿tú sabes qué es un fractal?

- Fractal, fractal, frac... ¿Un traje muy elegante? ¿como mi camiseta?

- ¡No! Bueno, como tu camiseta sí, y como las muñecas rusas esas...

- ¡Matrioskas!

- ¡Ésas! Un fractal (el nombre se lo puso Benoît Mandelbrot) es un objeto que presenta la misma estructura al cambiar indefinidamente la escala de observación. En la naturaleza hay muchas cosas con estructura fractal, por ejemplo si le arrancas un trozo a una coliflor y lo miras con una lupa parece una coliflor entera y lo mismo pasa con muchas plantas, fíjate en los helechos...

- Bueno, pero no estamos aquí para hablar de coliflores ¿verdad? ¿Qué van a decir los expertos en coliflores? ¡Eh!

- Efectivamente, “no hables de lo que no sabes” reza el dicho, lo que en tu caso puede ser resumido en “¡no hables!”. Y como apuntabas, no vamos a hablar de fractales en la naturaleza sino que vamos a construir algunos fractales “matemáticos”. Esto quiere decir que describiremos un proceso geométrico muy sencillo que repetiremos infinitamente para obtener una estructura final de apariencia más complicada.


- ¿Y cómo vamos a repetir algo infinitas veces?


- Muy sencillo, no vamos a hacerlo. Llegado un punto diremos “y así hasta el infinito”.


- ¿Puedes poner un ejemplo?


- Mira, coge un segmento, divídelo en tres trozos iguales y elimina el tercio central.

- Vale, ya está.

- Bien, pues ahora, con cada uno de los dos segmentos que tienes haces lo mismo, lo divides en tres y quitas el centro.

- Ah, ya veo y otra vez y otra... ¿así?

- Efectivamente. Y así hasta el infinito. La figura que obtendrías tras repetirlo infinitas veces estaría formada por “un montón de puntitos”. Son infinitos pero su longitud total es nula. Ese fractal se conoce con el nombre de conjunto de Cantor o “polvo de Cantor” (en honor al matemático Georg Cantor).


- Ya veo ya...


- Pues ese es uno de los numerosos ejemplos de fractal, uno de los más sencillos.


- A ver, otro...


- El copo de nieve de Koch. Dibuja un triángulo equilátero. Ahora, en cada uno de sus lados reemplazas el tercio central por los dos segmentos que completarían el triángulo equilátero que tiene por base a ese tercio central (y el otro vértice fuera del triángulo original). O sea:

Y luego vuelves a repetir lo mismo en cada uno de los nuevos lados. Si haces esto infinitas veces te saldrá una cosa tan bonita como la de la última figura, que es el copo de nieve de Koch.

- Y como te puedes imaginar, se han creado infinidad de fractales, muchos de ellos también con nombres famosos. Otro ejemplo es el triángulo de Sierpinski, que se va constuyendo siguiendo infinitas veces el patrón que ves en la figura:

- Ya veo ya, se va quitando un triángulo de área la cuarta parte de cada triángulo y al final tendríamos una cosa muy agujereada como la de la última figura.


- ¡Y tan agujereada! Más que un queso emmental.

- Muy bien, muy bien, pero ¿tú has mirado el título del artículo? ¿qué tiene que ver esto con el papel?

- Ahí viene lo divertido. Podemos hacer modelos de papel de muchos fractales, simplemente haciendo algunos cortes y dobleces. Mira, aquí está el del conjunto de Cantor (hasta la tercera iteración):

y aquí el del triángulo de Sierpinski:


Y lo bueno es que no necesitas mucho espacio para guardarlos, como esas cosas que anuncian en la tele cuando no saben qué poner. Se pueden aplastar totalmente metidos en un libro y cuando abras por esa página se formará la figura ridimensional.

- ¡Yo tengo un libro así, que sale un animal en cada página y parece que te va a comer, me lo he leído cinco veces...!

FRACTALES DE PAPEL:



1. El conjunto de Cantor:
Para construir el modelo de papel del conjunto de Cantor comenzamos con una hoja de papel y la doblamos longitudinalmente. Dividimos la hoja a lo largo del doblez en tres partes iguales, haciendo dos cortes de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado.

Marcamos los dobleces como se ve en la figura.

Volvemos a cortar en tercios hasta la mitad en cada uno de los lados...

...y doblamos.
En cada una de las cuatro nuevas solapas, repetimos el procedimiento, cortar en tercios...
...y doblar.
Y así hasta que nos cansemos (que en nuestro caso ha sido ¡ya!). Ahora sólo hay que ir orientando los dobleces en el sentido que nos interesa. Primero, "los dobleces más grandes" los metemos "para dentro" como muestra la figura.
Desde el otro lado se ve así.
Los siguientes más grandes los doblamos en la dirección contraria.
Y los otros también (y si tuviéramos más pues también...).
Así llegamos a nuestro modelo del conjunto de Cantor hasta la tercera iteración.

2. El triángulo de Sierpinski
Para construir el modelo de papel del triángulo de Sierpinski, comenzamos con una hoja de papel y la doblamos transversalmente. Dividimos la hoja a lo largo del doblez en dos partes iguales, haciendo un corte de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado.

Doblamos una de las mitades para marcar el doblez...

... y una vez marcado, lo metemos hacia dentro, como se ve en la figura, quedándonos una especie de escalera de dos peldaños.

En cada uno de los peldaños, repetimos la operación: corte al medio...

... marcar los dobleces...

y meterlos hacia dentro.

Y ahora lo mismo con cada uno de los 4 peldaños. Corte al medio...

... marcar los dobleces...

... y meterlos para dentro.

Venga, y una última vez. Cortar...

.. marcar...

... y doblar hacia dentro.

Y ya tienes tu triángulo de Sierpinski para poner en cualquier rincón.


3. Escalera


Para construir esta figura, comenzamos con una hoja de papel y la doblamos transversalmente. Dividimos la hoja a lo largo del doblez mediante dos cortes a 1/4 y 3/4 de la longitud del doblez, haciendo dos cortes de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado.

Doblamos, y sin desdoblar...

... cortamos en la nueva solapa a 1/4 y 3/4.

De nuevo doblamos...

... y sin desdoblar cortamos a 1/4 y 3/4 en la nueva solapa.

Y doblamos (si no te has cansado puedes seguir, ¡pero nosotros ya estamos hartos!) .

Ahora desdoblamos todo y vamos a orientar los dobleces, el más grande hacia dentro.

Ahora los dos siguientes hacia dentro.

Y así con todos.

¡Y ya tienes construida esta preciosa escalera!